۰۲ آبان ۱۳۹۶

انگاره گلد باخ

انگاره گلد باخ


هر عدد صحیح زوج بزرگ‌تر از ۲ حاصل‌ جمع دو عدد اول است.


 
هر عدد صحیح زوج بزرگ‌تر از ۵ حاصل‌ جمع سه عدد اول است.

 انگاره‌ گلدباخ (حدس گلدباخ) از جمله
معروف‌ترین مسایل حل نشده‌ ریاضیات می‌باشد.برای درک این مساله تنها
کافیست با مفهوم اعداد اول آشنا باشید. این انگاره چنین است:
 
هر عدد صحیح زوج بزرگ‌تر از ۲ حاصل‌جمع دو عدد اول است.
صورت معادل آن چنین است:
 
هر عدد صحیح زوج بزرگ‌تر از ۵ حاصل‌جمع سه عدد اول است.

تاریخچه
گلدباخ (۱۶۹۰ – ۱۷۶۴) به خاطر این حدس که آن را در سال ۱۷۴۲ در
نامه‌ای به اویلر مطرح کرد، نامش در تاریخ ریاضیات باقی مانده است. او
ملاحظه کرد در هر موردی که امتحان می‌کند، هر عدد زوج را (به جز ۲ و ۵)
می‌توان به صورت مجموع سه عدد اول نوشت.اویلر حدس گلدباخ را تعمیم داد به
طوری‌که هر عدد زوج بزرگ‌تر از ۲ را می‌توان به صورت مجموع دو عدد اول
نوشت. مثلاً
۴=۲+۲ , ۶=۳+۳ , ۸=۵+۳ , ۱۰=۵+۵ , ۱۲=۵+۷ , ۱۴=۷+۷ , ۱۶=۱۳+۳ ,
۱۸=۱۱+۷ , ۲۰=۱۳+۷ , … , ۴۸ = ۲۹ +۱۹ , … , ۱۰۰ = ۹۷ + ۳ , … لدباخ از
اویلر پرسید که آیا می‌تواند این مطلب را برای همه عددهای زوج ثابت کند و
یا اینکه مثال نقضی برای آن بیابد؟ شواهد تجربی در تایید اینکه هر عدد زوج
به این صورت قابل نمایش است، کاملاً قانع‌کننده است و هر کسی می‌تواند با
امتحان کردن چند عدد زوج، این موضوع را تحقیق کند. منشأ دشواری در این
است که عددهای اول بر حسب ضرب تعریف می‌شوند در حالی که این مسأله با جمع
سروکار دارد. به طور کلی، اثبات رابطه بین ویژگیهای ضربی و جمعی اعداد
صحیح کار مشکلی است.

تلاش‌ها برای اثبات

در سال ۱۹۳۱ اشنیرلمان (۱۹۰۵-۱۹۳۸) که در آن موقع یک ریاضیدان روس
جوان و گمنام بود موفقیت مهمی در این زمینه به دست آورد که برای همه
متخصصان غیرمنتظره و شگفت‌آور بود. او ثابت کرد هر عدد صحیح مثبت را
می‌توان به صورت مجموع حداکثر ۳۰۰۰۰۰ عدد اول نمایش داد. گر چه این نتیجه
در مقایسه با هدف اصلی یعنی اثبات انگاره گلدباخ مضحک به نظر می‌رسد، ولی
این نخستین گام در آن جهت بود. این اثبات مستقیم و سازنده است، اما هیچ
روش خاصی برای تجزیه یک عدد صحیح دلخواه به اعداد اول ارائه نمی‌کند.
بعدا وینوگرادوف ریاضیدان روس با استفاده از روشهای هاردی ،
لیتلوود و همکار هندی برجسته آنها رامانوجان در نظریه تحلیلی اعداد ، موفق
شد تعداد عددهای اول مورد لزوم را از ۳۰۰۰۰۰ به ۴ کاهش دهد. این نتیجه به
تعداد مطلوب در انگاره گلدباخ بسیار نزدیکتر است ولی تفاوت عمده‌ای بین
حکم اشنیرلمان و حکم وینوگرادوف وجود دارد که شاید مهمتر از اختلاف میان
۳۰۰۰۰۰ و ۴ باشد. قضیه وینوگرادوف فقط به ازای همه اعداد صحیح «به اندازه
کافی بزرگ» ثابت شده است؛ به بیان دقیقتر، او ثابت کرد عدد صحیح N ای وجود
دارد به طوری که هر عدد صحیح n> N را می‌توان به شکل مجموع حداکثر ۴
عدد اول نشان داد. اثبات وینوگرادوف راهی برای براورد کردن N به ما نشان
نمی‌دهد، و بر خلاف اثبات اشنیرلمان، اساساً غیرمستقیم و غیرسازنده است.
در حقیقت، چیزی که وینوگرادوف ثابت کرد این است که فرض نامتناهی بودن
تعداد عددهای صحیحی که قابل تجزیه به حداکثر ۴ عدد اول نیستند، به نتیجه
نامعقولی می‌انجامد. در اینجا با نمونه خوبی از تفاوت عمیق میان دو نوع
اثبات، مستقیم و غیرمستقیم، رو به روییم.
در سال ۱۹۵۶ باروتسکین با نشان دادن اینکه عدد exp(exp(16/038))=n در قضیه وینوگرادف کافیست گام دیگری در این راه نهاد.
در ۱۹۱۹ ویگوبرون رویکرد متفاوتی با عنوان روش غربال مطرح کرد که
تعمیمی از غربال اراتستن است. او ثابت کرد هر عدد صحیح زوجی که به قدر کافی
بزرگ باشد ، مجموع دو عدد است که هر کدام از آنها حاصل‌ضرب حداکثر ۹ عدد
اول هستند.
در ۱۹۳۷ ریچی ثابت کرد هر عدد زوجی که به قدر کافی بزرگ باشد مجموع
دو عدد است که یکی حاصل‌ضرب حداکثر دو عدد اول و دیگری حاصل‌ضرب حداکثر
۳۶۶ عدد اول است.
کُن با بهره‌گیری از ایده‌های ترکیبیاتی بوخشتاب ثابت کرد هر عدد
زوج بقدر کافی بزرگ مجموع دو عدد است که هر یک حاصل‌ضرب حداکثر چهار عدد
اول است.
در ۱۹۵۷ ، ونگ یوان با فرض درست بودن صورت تعمیم یافته فرضیه ریمان
ثابت کرد هر عدد صحیح زوج بقدر کافی بزرگ ،‌مجموع یک عدد اول و حاصل‌ضرب
حداکثر سه عدد اول است.
در ۱۹۴۸ آلفرد بدون استفاده از صورت تعمیم یافته فرضیه ریمان ثابت
کرد که هر عدد زوج بقدر کافی بزرگ مجموع یک عدد اول و حاصل‌ضرب حداکثر c
عدد اول است. ( c عددی ثابت و مجهول است).
در ۱۹۶۱ باربن نشان داد که c=9 برای این منظور کفایت می‌کند.
در ۱۹۶۲ ، پان چنگ دونگ این مقدار را به c=5 کاهش داد. مدت کوتاهی
پس از آن باربن و پان ، مستقل از هم ،‌آن را به c=4 کاهش دادند.
در ۱۹۶۵ بوخشتاب این قضیه را به ازای c=3 کاهش داد.
در ۱۹۶۶ ، چن جینگ ران روش غربال را بهتر کرد و قضیه را به ازای c=2 ثابت کرد. یعنی
هر عدد صحیح زوجی که به قدر کافی بزرگ باشد ، مجموع یک عدد اول و حاصل‌ضرب حداکثر دو عدد اول است.

گرد آوری وتنظیم: parsdanesh.ir

درباره نویسنده

مُصْطَفی اسدی (1415 ه.ق) هستم ، دانشجوی مهندسی برق . موضوعات مذهبی ، اعتقادی ، فکری ، ادبی بویژه شعر ، فیزیکی ، تکنولوژی ، سایبری ، رسانه‌ای و فرهنگی را دنبال می کنم. به نوشتن ، خواندن ، تحقیق ، یاد گرفتن ، یاد دادن ، برنامه نویسی و طراحی علاقه دارم . برای تفریح می نویسم ، مطالعه میکنم ، تحقیق میکنم ، یاد میگیرم و تلاش می کنم یاد بدم ، چند خط کد می نویسم و اگر مجالش باشه طراحی میکنم.

مطالب مرتبط

نظر بدهید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *